Carnaval Matemático

Esta entrada es mi contribución al 9º Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Rescoldos en la trébede

Cada vez que veo el Carnaval de Matemáticas me acuerdo del libro de Martin Gardner con un título muy parecido:



Hasta que me regalaron ese libro (acababa de terminar 1º de BUP) no tenía ni idea de quién era Martin Gardner. En el Carnaval Matemático pude conocer cosas sobre hipercubos, Dalí, juegos y rompecabezas, calculismo y hasta algo de magia. Definitivamente me marcó.

En las fechas que se nos avecinan se multiplicarán las comidas familiares y de empresa. Uno de los trucos con los que podemos sorprender a nuestros compañeros de mesa es con el cálculo del día de la semana. Se trata de aritmética modular (módulo 4 para contar bisiestos y módulo 7 para contar días de la semana). El método que uso yo es el descrito por Gardner en "Carnaval Matemático":

  • La idea es que hay que saber que el 1 de enero de 1900 era lunes.
  • Como para MG la semana empieza en domingo, el lunes es el segundo día de la semana. Y "para que todo cuadre" asigna al mes enero la cifra 1. (1+1=2)
  • Como enero tiene 31 días, tenemos 4 semanas completas más 3 días. Así, el 1 de febrero será "3 días de la semana más" que el 1 de enero. A febrero se le asigna el 4.
  • Febrero (si no es bisiesto) tiene 4 semanas completas. Así la clave de Marzo es 4.
  • Marzo trae 31, por lo que se avanzan tres días. Entonces la clave de abril es 7=0.
  • Abril treinta. La clave de mayo tiene que ser 2.

Y así sucesivamente.

Entonces, cada mes tiene una clave. Por orden las 12 claves son:

1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6

(agrupando de 3 en tres es fácil de recordar porque los 3 primeros son cuadrados perfectos y el último es 2 más el primero)

El procedimiento general (luego hablaremos de ajustes) es

  1. Dividir los 2 últimos dígitos del año entre 4 y quedarnos con el cociente (para ver cuántos bisiestos hay por medio).
  2. Sumar ese cociente a los 2 dígitos del año.
  3. Sumar a ese número la clave del mes y el día del mes.
  4. Dividir entre 7 y quedarnos con el resto.


Por ejemplo, el 5 de abril de 1968 era viernes:

68=17*4+0

Sumo 68+17+0+5=90 (año + bisiestos + clave_mes +día_mes)

Divido entre 7 y me quedo con el resto: 90=12*7+6. El resto es 6, es decir el "sexto" día de la semana: el viernes.

(Inciso: en España las semanas empiezan los lunes y uso otros números, una unidad menores que los de MG: 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5)

Ajustes:

- Si el año es bisiesto y el mes es enero o febrero el día es el anterior lo que nos resulte en el resto.
- Si consideramos fechas 20XX hay que restar 1 al resultado final.
- Para fechas 18XX hay que sumar 3.


Todo se simplifica si queréis trabajar solo con fechas de 2011. Como la clave de año es
11+2-1=12=5 (mod7)


solo hay que sumar 5 a los códigos de mes y día. Por ejemplo para ver en qué cae el comienzo de vacaciones para muchos, el 1 de agosto de 2011, tenemos que tener en cuenta











día mes clave mes clave año
1 3 5


La suma 1+3+5=9=2(mod 7) por lo que el comienzo de las vacaciones coincidirá con un lunes.

Números

Hace mes y medio apareció esta columna en El País, escrita por Juan José Millás. Como me gustó y a lo mejor pierdo la referencia, puede ser bueno incluirla aquí.

Números

El pin del móvil y el puk del módem, la contraseña de iTunes, el teléfono fijo de mamá, el prefijo de Asturias, la clave de acceso al cajero automático, la matrícula del coche, el número del DNI, la inflación interanual, el producto interior bruto, el diferencial de la deuda, la talla de los pantalones y la ropa interior, las dimensiones de la pena, los 31 días de enero y los 28 de febrero, tu cumpleaños, nuestro aniversario y el del fallecimiento de papá, el tiempo de cocción del huevo duro y la caducidad del yogur, las cucharadas diarias de jarabe, la cantidad de sal, el valor de referencia de la urea, las pulsaciones por minuto, la temperatura del microondas, las horas de insomnio, la línea 5 del metro y el vía crucis de las 12 estaciones, los dígitos de la hipoteca, el IVA, el IRPF, el Euríbor, el tanto por ciento de descuento, los puntos de la tarjeta de Iberia, la hora de entrada, la numerología china, los honorarios del dentista, los dedos de la mano, los pelos de la cabeza (pocos), los pares de calcetines, la cuenta del supermercado, el cuentakilómetros, el cuentarrevoluciones, el contador del gas, de la luz, las páginas de Anna Karenina, los volúmenes de la enciclopedia Espasa, el limitador de velocidad, los metros cuadrados construidos y los hábiles, los cuartos de baño, los puntos de luz, el salario bruto y el líquido, los años de cotización, el tiempo de carencia, la tercera temporada de Mad Men, la cuarta de El ala Oeste de la Casa Blanca, la quinta de Los Soprano, el control del peso, el podómetro, el metrónomo, los litros de agua consumidos, los goles del domingo, el porcentaje de seguimiento de la huelga según los sindicatos, según la policía, según el Gobierno, la patronal o Dios, el décimo de Navidad (que acabe en 7), la indemnización por año trabajado. Y la sala 10 del tanatorio, por ejemplo.

Juan José Millás. EL PAÍS. 1 de octubre de 2010

De fiestas y carnavales

Esta es mi primera participación en el Carnaval de Matemáticas. Est vez está alojado en
http://juanmtg1.blogspot.com/2010/10/

Y para un carnaval, nada mejor que una fiesta y globos.

Os muestro un video de la celebración del no cumpleaños de Martin Gardner en Madrid el pasado 21 de octubre. En esta parte mostramos la construcción de poliedros con globos, de acuerdo con las instrucciones de Victoria Hart

Quien hizo prácticamente toda la construcción de los poliedros fue Nelo Maestre, quien haciendo uso de su experiencia en globoflexia nos dio ideas para adecuar los tamaños de caa globo de un modo eficiente.

La fiesta de No-Cumpleaños de Martin Gardner

Martin Gardner, como buen aficionado a Lewis Carroll, merecía tener una fiesta de no cumpleaños.

De momento ya van por 66 en todo el mundo:

En Madrid vamos a hacer la fiesta en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, como ya indiqué en un post anterior. El programa del acto será este:



JUEVES 21 DE OCTUBRE DE 2010. 17:30 A 19:30 h

PROGRAMA DEL ACTO


- Una semblanza de la vida de Martin Gardner, Jesús García Gual (IES Conde de Orgaz)

- Pompas de jabón y Matemáticas, Vicente Muñoz Velázquez (UCM)

- Matemagia, Nelo Maestre Blanco (Mago) y Fernando Blasco Contreras (UPM)

- Divisibilidad y campanas, Francisco Gómez Martín (UPM)

... y alguna sorpresa más



En esta página
vamos a poner fotos del evento, materiales, contribuciones, e incluso, a lo mejor, se puede grabar y podemos poner un enlace de videoconferencia.

En fin... una gran fiesta de cumpleaños. Como aperitivo dejo un video del pasado Gathering for Gardner

Estadística y cerveza



Viajando se aprende mucho. por ejemplo, que "Student" (el de la disgtribución t, en estadística) en realidad no era Student, sino que éste era el pseudónimo que utilizó William Sealy Gosset, un químico y matemático que, con 23 años, comenzó a trabajar en la destilería de Guinness. Su artículo sobre la distribución estadística está disponible en este enlace.




Esta imagen recuerda, en la fábrica de la cerveza Guinness, a este científico, que llegó a ser el Destilador Jefe de la fábrica de Londres.

Por otra parte, esta marca de cerveza negra también se ha preocupado de los valores que se salen de las estadísticas: el famoso Libro Guinness de los Records. La compilación del libro fue iniciada por Sir Huge Beaver a raíz de una discusión sobre si el ave de caza más rápida de Europa era el chorlito dorado o un urogallo. Como no encontró documentación para responder esta cuestión se le ocurrió compilar un libro, que se llamó El libro Guinness de los Records, cuya primera edición apareció en 1954 con 197 páginas.

La fábrica muestra la tecnología empleada en la cerveza y en ella hay otras muchas placas dedicadas a científicos que han trabajado para la empresa.

Cheers!

Semana de las matemáticas






En Irlanda se celebra una Semana de las Matemáticas coincidiendo con el aniversario del momento en el que Hamilton dio con la clave de los cuaterniones y lo dejó grabado en el puente de Broom.





Hay muchas actividades en toda la isla, participan 70000 escolares y traen expertos de todo el mundo. Por ejemplo, Marcus du Sautoy dará esta tarde una conferencia en Dublin (lástima que yo esté en Galway, hablando a la misma hora).

Y, viniendo en tren de Dublin a Galway, me he acordado de este chiste:

Van un matemático, un físico y un ingeniero en tren por irlanda y al mirar por la ventanilla ven una oveja. El ingeniero dice

- En Irlanda las ovejas son negras

a lo cual el físico replica

- Tu afirmación no es exacta: deberías decir que en Irlanda hay al menos una oveja negra.

finalmente el matemático cierra la cuestión:

- Ambos estáis equivocados: lo único que podemos afirmar con certeza es que en Irlanda hay una oveja que es negra por al menos uno de sus lados.



Bromas aparte, y teniendo en cuenta conversaciones con colegas en esta semana se me ha ocurrido este acertijo.

Supongamos que tenemos una oveja blanca, una oveja negra y una oveja que es blanca por un lado y negra por el otro. Se captura una oveja, se guarda en una caja y nos dejan mirar por un agujero, que solo nos permite ver algo negro. No podemos asegurar de qué oveja se trata. Nos piden apostar por la oveja de la que se trata. ¿Es igual de probable que se trate de la oveja completamente negra a que sea que tiene un lado de cada color? ¿O es más probable algún caso?




emos una oveja desde la ventanilla del tren y solo podemos observar que su lado visible es negro.

Pseudociencia


Próximo el "cumpleaños" de Martin Gardner nos encontramos con que la Pseudociencia ha entrado en las aulas universitarias: la Universidad de Alicante ha acogido un curso sobre Astrología. La noticia es que los organizadores "han engañado" a la Universidad puesto que han cobrado entrada a los asistentes...

... como si no fuera un engaño la astrología en sí. Y otro montón de actividades o creencias clasificadas como pseudociencia. Podríamos referirnos al libro de Martin Gardner La Ciencia: lo bueno, lo malo y lo falso. O al de Michael Shermer ¿Por qué creemos en cosas raras?, pero el caso es que la gente sigue creyendo en este tipo de cosas.

En las sesiones de Magia y Ciencia procuro hacer ver que esa magia es ilusionismo, espectáculo y espero que con un mayor conocimiento científico, básico, no es necesario más, la población al menos mostrará un pensamiento crítico y no se creerá a pies juntillas un montón de cosas. Los programas de televisión dedicados a ovnis y similares superan en audiencia a los científicos. Lo mismo ocurre con los libros: si al hablar de Egipto se fomentan las "propiedadees mágicas" de las pirámides, aumentas las ventas, porque tienes contentos e interesados a los de los dos bandos...

Hay técnicas, conocidas por los psicólogos y por los ilusionistas, de lectura en frío y lectura en caliente. Permiten mostrar a un "incauto" que conoces cosas sobre su pasado, y que puedes predecir su futuro.

Un mago mentalista, Uri Geller, se hizo famoso (y multimillonario) sacando su espectáculo de un teatro a la vida real. La televisión le ayudó, y los espectadores creían que tenía poderes para arreglar un reloj, doblar una cuchara o acertar cosas.

Otro mago, James Randi, junto con Martin Gardner y Carl Sagan, fundó CSICOP, ahora Committee for Skeptical Inquiry. Ha establecido un premio para aquel "psíquico" con poderes paranormales que consiga algo que él no pueda repetir mediante métodos de ilusionismo. Hasta el momento nadie ha sido capaz de mostrar una proeza paranormal.

Gardner Celebration of Mind




El próximo 21 de octubre Martin Gardner habría cumplido 96 años si no nos hubiera dejado en mayo.

Martin no quería homenajes, pero la organización del Gathering for
Gardner ha propuesto que se celebre su cumpleaños en diferentes lugares del mundo: http://www.g4g-com.org/

Lo que ocurre es que no hay fiesta de cumpleaños si no hay participantes....

Se trata de compartir en la tarde del 21 de octubre cosas a las que Martin era aficionado: magia, puzles, relación entre arte y ciencia, matemática recreativa, Alicia en el País de las Maravillas, la lucha contra la pseudociencia, ...

También, como se hace en el Gathering for Gardner original, se puede hacer una presentación, o traer un puzle matemático, o cualquier otra cosa que hubiera gustado a Martin Gardner.

El lugar está por determinar. Probablemente pueda ser la ETS de Ingenieros de Montes de la Universidad Politécnica de Madrid, por facilidad para reservar un aula, aunque se admiten otras sugerencias
. También es posible hacer algún tipo de envento "online".

Cualguier sugerencia o ayuda para organizar este evento será bien recibida. Ya faltan pocos días y Martin Gardner lo merece.


PD.- ¿Habéis visto que las dos imágenes superiores son en realidad la misma, una de ellas girada?

Magia y ciencia. Referencias






Ya pasó la Noche de los Investigadores. No sé cómo fueron el resto de experiencias, pero lo veré, ya que se van a colgar los videos en la web.

Me comprometí a indicar las referencias a libros relacionados con la magia y la ciencia. Aquí van:

Blasco, F. Matemagia. Temas de Hoy.
Blasco, F. El periodista matemático. Temas de Hoy.
Estalella, J. Ciencia Recreativa. Competium
Gardner, M. Mathematics, magic and Mystery. Dover.
Gardner, M. Smart Science Tricks. Dover.
Robert-Houdin, J.E. Magia y Física Recreativa. Alta Fulla.


Obviamente, no es un listado exhaustivo de referencias. Son algunas básicas, que pueden servir tanto para los iniciados como para los aficionados a la ciencia que quieren saber un poco más.

Y, la conferencia, ya está en el Canal UPM de Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=h4csi3MyRtM

Arthur Benjamin y su Matemagia



Va llegando la noche de los investigadores y hasta ese día quiero enlazar algunas aportaciones de la ciencia al espectáculo de la magia. Una de las parcelas mágicas es la que se denomina Mentalismo, en la que el mago simula tener poderes que pueden consistir en doblar cucharas, arreglar relojes, calcular rápidamente, memorizar listas de objetos, mover objetos a distancia. La excusa en estos casos siempre es "el poder de la mente".

Hasta ahí, entendido como espectáculo, es perfecto. El problema es cuando algún mentalista, como el famosísimo Uri Geller, dice que sus poderes van más allá del mero truco.

El video que incluyo es un espectáculo de Matemagia (en esta ocasión es Calculismo) llevado a cabo por Arthur Benjamin y en el que explica alguna de las técnicas. El video está en inglés, pero ese es un handicap que sed tiene que pasar (por ejemplo, mi Universidad no dará el Título de Graduado a quien no tenga un nivel B2 de inglés, que no es poco).

Espero que os guste la entrada que, por cierto, incluyo en esta edición del Carnaval de Matemáticas.

En otra entrada incluiré alguno del Guinnes de Cálculo Mental del asturiano Alberto Coto.

La noche de los investigadores: Magia y Ciencia



La Noche de los Investigadores se celebra en diferentes ciudades de la Unión Europea en la misma fecha: siempre el último viernes de septiembre. Dio la casualidad de que hace dos años me invitó Miquel Duran a la "Nit de la Recerca" que organizaba a través de la Universitat de Girona. Desde ese momento me pregunté por qué no se organizaba algo similar en Madrid. En la última convocatoria la Comunidad de Madrid ha presentado un programa de actividades en el que participan las Universidades y los Centros Públicos de Investigación y estamos a una semana de que se celebre este evento.

Contribuyo a esta actividad con dos pases de "Magia y Ciencia" en la ETSI de Montes de la Universidad Politécnica de Madrid y, debido a la limitación de aforo, hay que hacer reserva previa. Después repetiré la actividad durante la Semana de la Ciencia, en Noviembre.

Como aperitivo dejo un programa dedicado a la matemagia que se emitió en Tres14, en La 2.

Asesinatos matemáticos


Hoy nos acercamos a "Asesinatos matemáticos", un libro escrito por Claudi Alsina.
Todavía no he leído aunque sí conozco parte de su contenido, ya que he tenido la fortuna de escuchar a Claudi Alsina en una conferencia en la que trataba ese tema.

Mi recomendación principal es que se lea el libro, pero, de momento, y hasta que se pueda escuchar una conferencia del prof. Alsina, incluyo este enlace a una entrevista que le han hecho con motivo de la publicación:
Entrevista a Claudi Alsina en RNE

Matemáticas en el metro





Comenzamos el curso y se nos olvida que durante todo el mes de agosto estuvimos de vacaciones.

Durante la Noche en Blanco el Metro de Madrid en colaboración con la Escuela de Pensamiento Matemático Miguel de Guzmán de Torrelodones propusieron a los viajeros problemas de matemáticas, que dicho así suena muy duro.

La idea no debe de ser mala, porque a partir de ahora se van a proponer enigmas, juegos de ingenio lógico en el Canal Metro de Madrid, tal como se comenta en madridiario

Me parece una gran iniciativa y una forma de acercar las matemáticas a todo el mundo. Y, de paso, amenizar la espera en las estaciones y en los vagones.


Por cierto... La red de metro nos ofrece un estupendo ejemplo de grafo.

Sucesos inevitables

Hay personas que no deberían morir nunca. Aunque a todos nos llegará la hora en un momento u otro.

Recientemente nos han dejado tres personas ilustres, que han influído sobre varias generaciones de matemáticos, tocando diferentes materias.

- Martin Gardner (21 de octubre de 1914 – 22 de mayo de 2010)




- Walter Rudin (2 de mayo de 1921 – 20 de mayo de 2010)




- V. I. Arnold (12 de junio de 1937 – 3 de junio de 2010)

Día Escolar de las Matemáticas

Hoy se celebra el Día Escolar de las Matemáticas, sobre el tema "Matemáticas y Prensa".



No hay nada mejor que leer las páginas de un periódico para encontrarnos con ejemplos de matemáticas en el día a día. Por ejemplo, hoy se publicará la nueva cifra de parados. Ayer se publicaba cuánto tendremos que ajustarnos el cinturón para arreglar la Economía. El fin de semana se publicará quién ha obtenido más puntos en el campeonato de liga.

Las matemáticas están por todas partes: en el pronóstico del tiempo, en las combinaciones de la lotería, en el diseño de la pelota de fútbol, en las transacciones bancarias, en la emisión digital, ...
Y también en la tansmisión de conferencias por internet. Aquí dejo el enlace a la conferencia celebrada en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense. Los comentarios serán bien recibidos.

¡Feliz día Escolar de las Matemáticas!

Más fútbol

Llevamos una semana en la que las noticias hablan continuamente sobre si el F.C. Barcelona o el Real Madrid se proclamarán matemáticamente campeones de liga (claro, para que eso se pudiera determinar tendría que fallar el otro equipo).

El término "matemáticamente" se refiere en este caso a que, aún sin haber terminado la liga y por ello no poder ser proclamado campeón, el equipo que es "matemáticamente campeón" tiene más puntos conseguidos que los que pudiera obtener cualquiera de los demás de la liga. Siempre me ha hecho gracia esa expresión.

Buscando noticias relacionadas con matemáticas y deportes encontré una que se refiere a la clasificación del mundial 1994 (hace ahora 16 años). Yo no soy muy aficionado al fútbol y no conozco la historia de lo que ha ocurrido, pero estoy encontrando muchas situaciones interesantes.

Resulta que en la ronda clasificatoria se enfrentaron Granada y Barbados (pequeños países americanos). El gol average indicaba que Granada pasaría a la siguiente ronda si ganaba o perdía por un gol de diferencia, mientras que Barbados sería la clasificada si ganaba el partido por dos goles de diferencia. Si el partido finalizaba con empate habría que ir a la prórroga y, en su caso, a los penaltis.




Resulta que, en el minuto 85, Barbados iba ganando por 2-1, resultado con el que no podían conseguir la clasificación. Desarrollaron una estrategia matemática, que consistía en meterse un gol en propia puerta, ya que ésto no les perjudicaba en la clasificación (realmente necesitaban ganar por dos goles) y les permitiría jugar la prórroga.
M

El equipo de Granada tuvo pericia como para darse cuenta de la jugada de Barbados, con lo que intentaron meter un gol, ya que independientemente de la portería que lo encajara ellos pasarían a la siguiente ronda.

La reacción de Barbados consistió en defender las dos porterías, para que Granada no metiese (en ningún sitio) el gol de la victoria. Con esta estrategia Barbados no solo consiguió que Granada no metiera más goles sino que ellos metieron su tercer gol a Granada. ¿Quién ganó el encuentro?


... el clasificado fue Barbados, porque existía una regla, llamada "el gol de oro" que funcionaba como una especie de muerte súbita: al empatar un partido y forzar la prórroga, el primero en marcar un gol (al contrario, se entiende) se proclamaba automáticamente vencedor del encuentro, por un resultado de 2-0, que era el margen de diferencia que necesitaba Barbados para pasar a la siguiente ronda.

Las matemáticas y su aplicación aparecen en los lugares más insospechados. La FIFA abolió en 2004 la aplicación del "gol de oro".

El Mundial de Sudafrica

Vamos despacito, a menos de una entrada por mes, pero es una tendencia que tiene que cambiar.

En esta ocasión planteo un tema futbolístico: ¿por qué hemos pasado del icosaedro truncado de los balones clásicos de fútbol al nuevo Jabulani, formado por recortes de superficie esférica pegados?

El proceso de fabricación del nuevo balón Jabulani es sorprendente, aunque me gustaban más los balones arquimedianos, como el del mundial de 2002.




El día de PI

Mirando el calendario observo que el próximo domingo será el 14 de marzo (escrito 3.14 en la notación anglosajona), por eso es por lo que se le suele denominar el día de pi. Supongo que los medios algo nos comentarás sobre esta fecha, por ello quiero adelantarme a ese día.

Sin restar importancia a este número, que tan útil y sorprendente resulta, dedicarle una fecha no deja de ser una "frikada". Pero bueno ... Ahí va el primer video.



Para los que gusten de otras versiones y otros ritmos hay donde elegir:





Pero no solo los anglosajones cantan a PI: aquí podemos escuchar una canción en nuestra propia lengua (ojo con el final de la canción):





Otros links interesantes:

- Página dedicada al día de PI

- Página dedicada a PI en la wikipedia

- En microsiervos hay un comentario sobre la canción (mucho mejor que las anteriores) que Kate Bush dedica a PI, y los errores que comete en ella

30 años atrás

No puedo hablar de cómo era la Universidad hace 30 años, porque todavía estaba cursando la EGB. La Universidad Politécnica de Madrid, como tal, había nacido en 1971 (por eso será que está entrando en la crisis de los 40) y en ella se desarrollaban eventos que ahora son impensables. Hoy tanto el vandalismo en los Centros como el interés de los estudiantes se han transformado bastante. En laEscuela Técnica superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la recién creada Universidad Politécnica de Madrid tuvo lugar el 9 de febrero de 1980 un concierto que se considera como punto de partida de "la movida madrileña".




Los grupos y temas que sonaron en ese concierto,
homenaje a Canito (en este enlace), acompañaron toda mi adolescencia. La primera vez que escuché "sobre un vidrio mojado" fue al que hoy es el alcalde de mi pueblo, canturreando la canción que acababa de oir en la radio. Bastantes años más tarde estuve compartiendo unas cervezas con "Los Secretos" en un local mítico (un compañero de trabajo es amigo de uno de los componentes) y un poco después estuve compartiendo una grabación de "Noche sin Tregua" con Nacho y Antonio Vega. Eso es lo único bueno que dan los cuarenta: la perspectiva. Quizás a los 50, 60, 70 u 80 no pueda decir esto.

A la movida se le dedicaron incluso sellos. Y sobre el sello parte de uno de los célebres bandos de Tierno Galván. En aquel momento no había blogs y algunos alumnos del Instituto "San Isidro" hacíamos una revista. Probablemente la última entrevista que concedió Tierno antes de su fallecimiento fue a unos compañeros de "Aula 28". A lo mejor ellos han olvidado cómo calcular probabilidades, cómo redactar comentarios de texto o cuál fue la importancia de Platón. Lo que, con toda seguridad, no han olvidado es que fueron recibidos por el alcalde en su despacho. Esa faceta de la educación no la tenemos en cuenta y es una de las más importantes.

Propósitos para el nuevo año







Un nuevo año, con propósitos que hacer...

Sí, escribiré más en el blog.

Una curiosidad 2010=2*3*5*67

y hay, al menos, una forma de escribirlo de la forma

a^m+b^n+c^p+d^q+e^r

donde a,b,c,d,e,m,n,p,q,r son todos los dígitos de 0 a 9.

¿Encuentras la forma?